PROJET-ABEILLE

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Table des matières

Membres du groupe

                                  LANOUNI sofia 

                                  COHEN-SOLAL Roy 

                                 MALASIGNE Clément 

                                   LUBEK Lazare

Description du projet

Notre projet consiste à modéliser les effets de pesticides sur une colonie d’abeilles durant plusieurs années. Lors de notre étude, nous allons voir comment modéliser la reproduction des abeilles et notamment l’évolution de la ponte d’oeufs. Ainsi lorsque l’on va simuler l’action du pesticide sur plusieurs colonies, nous allons pouvoir changer certain paramètres de reproduction et suivre l’évolution de la population d’abeilles.

Modélisations mathématiques de la reproduction des abeilles

Dans une colonie domestique ou sauvage d’abeilles,qu’importe, il y a entre 20 000 et 90 000 abeilles.

Chez les abeilles, la reine décide de féconder ou non les oeufs à partir du sperme emmagasiné des mois, voire des années auparavant.Sachant que les règles de reproduction chez les abeilles sont telles que l’abeille femelle a un père et une mère(la reine) tandis que l’abeille male n’a qu’une mere (la reine). On peut en déduire une loi mathématique.

Fibonacci

En effet , on remarque que la population d’une ruche peut être modelisée par la suite de Fibonacci. étant donné qu’à chaque génération , les nombres de femelles et de mâles sont deux nombres consécutifs de cette suite. On peut démontrer mathématiquement que la limite du rapport entre F_(n+1) et F_n est le nombre d’or (~1,618).On comprend donc que le rapport entre les mâle et femelles est environ égale au nombre d’or. Et étant donné qu’on parle d’une ruche qui possède au minimum 10 000 abeilles (soit 4000 mâles et 6000 femelles environ) , c’est à dire environ F_19 et F_20 le rapport entre les deux est assez proche pour approximer dans notre modèle, l’évolution de la population en se servant du coefficient du nombre d’or plutôt que de definir la suite en elle-même qui demanderait beaucoup plus de puissance à notre ordinateur.

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Cette image est issue du site suivant : https://lenombredor.wikispaces.com/biologie-nature

Image Cette image est issu du site suivant : http://nicolas.blogs.com/.a/6a00d83455b58069e20115721bba3b970b-pi

Voilà la ligne de code modélisant le nombre d’oeufs par semaines avant et après 14 semaines. :

'''
def nb_oeuf_par_semaine1(k):
  #Avant 14 semaines
  if k<=14:
    nb_oeufs=int((-2.6064*k**3)+(33.363*k**2)+(22.356*k)+1000)
  else:
    #Apres 14 semaines
    nb_oeufs=int((0.3906*k**4)+(-31.539*k**3)+(929*k**2)+(-11826*k)+55718  
return(7*nb_oeufs)
'''

Si le nombre de semaines k est inférieur à 14, le nombre d’oeufs par semaine est de (-2.6064 x k³)+(33.363 x k²)+(22.356 x k)+1000). En revanche, si le nombre de semaine est supréieur à 14, alors les abeilles pondront un nombre d’oeufs égal à (0.3906 x k⁴)+(-31.539 x k³)+(929 x k²)+(-11826 x k)+55718. On arrondit à une valeur entière pour simplifier les résultats.

Afin d’obtenir un résultat à partir d’une fonction continue et non des valeurs discrètes, on utilise l’aire sous la courbe de cette formule, avec les formules d’intégrales, donc de primitives des fonctions précédentes.

'''
def nb_oeuf_par_semaine1(k):
  #Avant 14 semaines
  if k<=14:
    nb_oeufs=int((-(2.6064/4)*(k+1)**4)+((33.363/3)*(k+1)**3)+((22.356/2)*(k+1)**2)+1000*(k+1))-int((-(2.6064/4)*k**4)+((33.363/3)*k**3)+((22.356/2)*k**2)+1000*k)
  else:
    #Apres 14 semaine
    nb_oeufs=int(((0.3906/5)*(k+1)**5)+((-31.539/4)*(k+1)**4)+((929/3)*(k+1)**3)+((-11826/2)*(k+1)**2)+55718*(k+1)) int(((0.3906/5)*(k**5)+((-31.539/4)*k**4)+((929/3)*k**3)+((-11826/2)*k**2)+55718*k))
return(7*nb_oeufs)
'''

Nouvelle Modélisations mathématiques de la reproduction des abeilles appliquée à l’aaparition des pesticides

Après avoir fini de modéliser la population il est temps de s’intéresser aux effets des pesticides sur celle-ci: On définit 3 paramètres pour le pesticide et 3 paramètre pour les abeilles que l’on compte faire varier dans nos modèles, à savoir :

Paramètres pesticides

Paramètres Utilité Variation
létalité la capacité du pesticide à tuer l’abeille i.e la facilité du pesticide à tuer réel entre 0.5 et 1
adaptation la capacité des abeilles à resister au pesticide réel entre 0 et 1
portée la capacité à atteindre une abeille avec le pesticide réel entre 0 et 1

Le pesticide depend de ses trois paramètres. Dans notres programme, le pesticide est un tuple caractérisée par ses trois paramètres :

'''
pesticide=(letalite,adaptation,porte)
'''

Paramètres Abeilles

Paramètres Utilité Variation
alpha proportion de la population resistante, qui resiste réel entre 0 et 1
taux_res taux de resistance sur la population resistante réel entre 0 et 1
taux_nres taux de resistance sur la population non resistante ( taux_res>taux_nres ) réel entre 0 et 1

Il s’agira de définir une fonction qui renverra le nombre d’abeilles touchées qui prendra en compte la portée ainsi qu’un paramètre aléatoire , on distinguinguera les abeilles touchées resistantes et celles qui ne sont pas résistantes. A partir de ces abeilles touchées , on prélèvera un certain nombre d’abeilles qui seront effectivement mortes ,chez les resistantes qui depend de leur taux de resistance et idem pour les non resistantes en y faisant intervenir la létalité ainsi qu’un paramètre aléatoire. Nous testerons ensuite la proportion des abeilles mortes par rapport aux abeilles touchées et celui-ci nous indiquera si les abeilles ont resistées ou pas ,en distinguant toujours les abeilles resistantes des non resistantes. En effet , si cette proportion est inférieure au seuil d’adaptation on en déduit que les abeilles ont dévellopés une resistance et donc le taux de resistance des abeilles.

Modelisation

Dans notre modélisation, on considère que les “abeilles_touchees” représentent la populations femelles étant donné qu’elles sont les seules à sortir de la ruche, elles sont les seules à être touchées par le pesticides. Pour la suite des explications, on parlera des abeilles ouvrières butineuses.

On etudira d’abord :

D’après les paramètres sités ci-dessus, on peut calculer le nombre d’abeilles touchées. En effet on a le nombre d’abeilles resistantes touchées qui est alpha de porte du nombre de population totale d’ouvrière. En d’autre terme la portée de la population qui est touchée par le pesticude. On affinera à +/- 10%. Le nombre d’abeilles non resistantes est simplement le nombre total d’ouvrières moins le nombre d’abeilles resistantes touchées, toujours affiner à +/- 10%. Ici on a utilisé le paramètre alpha qui correspond à la proportion de la population qui résiste.

'''

def abeilles_touchees(nb_ouvriere,alpha):
  res=nb_ouvriere*alpha

  res_touchees=(int(res*(porte*(randrange(9000,11000)/10000))))

  nres=nb_ouvriere-res
  nres_touchees=(int(nres*(porte*(randrange(9000,11000)/10000))))

  if (res_touchees+nres_touchees)>nb_ouvriere:
    return (res,nres)
  return (res_touchees,nres_touchees)
        
 '''

A partir du nombre d’abeilles touchées, on peut déterminer le nombre d’abeilles mortes. On utilisera le paramètre letalite qui correspond à la capacité du pesticide à tuer une abeille, le taux_res et le taux_nres qui correspondent aux taux de resistance des abeilles resistantes ou non. D’après notre definition la létalité est la proportion d’abeilles tuées sur la population d’abeilles non résistantes. En effet, la population résistante ne peut pas être tuée car elle résiste face au pesticide. En revanche la proportion de population non resistante va elle être sensible aux pesticides et mourir ou resister. C’est ce que l’on definit dans notres algorithme:

 ''' 
 
def abeilles_mortes(touchees,taux_res,taux_nres):
  res_mortes,nres_mortes=touchees
  res_mortes=res_mortes*letalite*(1-taux_res)*(randrange(9000,11000)/10000)
  nres_mortes=nres_mortes*letalite*(1-taux_nres)*(randrange(9000,11000)/10000)
  return(int(res_mortes),int(nres_mortes))

 '''

Au fur et à mesure, on fait évoluer le taux de résistance et le taux de non résistance à +/- 10%. Ainsi on a notre nouvelle population d’ouvrières calculée qu on recuperera dans notre nouvelle modélisation.

Transmission de la résistance dans la ruche

On suppose à présent que la résistance des abeilles se transmet génétiquement. Ainsi, les oeufs pondus une certaine semaine possèdent la même proportion d’abeilles résistantes que pour la population totale cette semaine-là. Dans notre fonction, nous calculons d’abord un nouvel alpha, à partir d’une part des populations mortes dans la semaine et des populations naissantes trois semaines plus tôt, à savoir en prenant les abeilles résistantes et non résistantes qui sont mortes, puis en prenant le nombre d’ouvrières résistantes à la semaine concernée, et en y ajoutant le nombre d’abeilles résistantes parmi les oeufs pondus trois semaines auparavent, avant de diviser le nombre total obtenu par la population de la ruche. Puis on le divise à nouveau par le nombre d’ouvrières. Dans la liste d’oeufs, on mentionne également le alpha pour chaque élément de la liste, pour montrer l’évolution de la résistance de la ruche. Dans la liste renvoyée par la fonction principales, l’on affiche également la valeur entière de nb_ouvriere x alpha, qui montre alors le nombre d’ouvrières résistantes à chaque semaine. Voici les lignes de code présentants ces modifications :

’’’

def transmission(pop_init):
 
 alpha=MaJ_alpha(alpha,res_m,nres_m,nb_ouvrieres)
 
 etc.  
 
 alpha=(alpha*nb_ouvrieres+List_oeuf[-3][2]*List_oeuf[-3][1])
 
 etc.
 
 if nb_ouvrieres!=0:
    alpha=alpha/nb_ouvrieres
 else:
    alpha=0
 
 etc.

 '''

Etude de la dynamique du système

Après avoir modélisé l’évolution de la ruche sur plusieurs années en ayant ajouté le pesticide, nous étudions maintenant la dynamique du système en faisant varier les paramètres. Pour cela, nous ne représentons plus des courbes d’évolutions sur un graphique, mais bien une évolution en deux dimensions, à savoir avec l’adaptation et la portée en coordonnées. On fixe la létalité du pesticide ainsi que la proportion alpha d’abeilles résistantes. On évalue, pour chaque valeur discrète d’adaptation et portée du graphique la survie ou non de la ruche au bout de 10 années, la survie représentée en bleue et la non-survie en rouge. Nous observons cette évolution pour différentes valeurs de létalité et de alpha. Nous avons pour cela fait tourner notre programme un nombre de fois suffisant pour pouvoir obtenir toutes les captures d’écran. Quand la létalité augmente, plus la ruche meurt quand la portée est grande et l’adaptation petite. On remarque cependant que les grandes portées aident les ruches à s’adapter, ce qui entraîne une légère “remontée” des ruches vivantes pour les grandes portées et petites adaptations, quand la létalité augmente. De même, on remarque que plus alpha augmente, pour une létalité fixée, plus la ruche survie pour les grandes portées et petites adaptations.

Bibliographie