La formation des flocons de neige

Introduction

Nous avons étudié la formation des flocons de neige.

La pression de vapeur saturante
L'effet Bergeron

La pression de vapeur saturante

Pression à partir de laquelle la vapeur se solidifie

Effet Bergeron

De la vapeur se condense au niveau des cristaux de glace

La forme dépend de :

La temperature
La concentration en vapeur d'eau

Dans le plan, on peut observer, entre autres :

Les dendrites stellaires (Stellar Dendrites)
Les flocons en fougère (Fernlike snowflakes)
Les plaquettes (Plates)

Les flocons ont une forme d' hexagone.

Ceci est dû aux forces d'attractions et de répulsions des molécules d'eau :

Molécules d'H2O — Agencement hexagonal des molécules d'eau et liaisons hydrogènes

Pour simuler une telle croissance, nous avons implémenté une grille hexagonale.

La grille hexagonale

Chaque cellule a pour coordonnées un couple (q,r) :

Hexagonal grid — Grille hexagonale pavant le plan

La grille hexagonale, où h est le rayon des hexagones, est définie par :

$\left \{ h\times\begin{pmatrix} \sqrt{3} & \frac{\sqrt{3}}{2}\\ 0 & \frac{3}{2} \end{pmatrix}\binom{q}{r}, \binom{q}{r}\in\mathbb{Z}^2\right \}$

Les coordonnées des 6 coins d'un hexagone de rayon h et de position (q,r) sont données par :

$\left \{ \left(h\times\left(\cos\left(\frac{\pi}{6}\times i\right) + \sqrt{3}\times q + \frac{\sqrt{3}}{2}\times r\right),h\times\left(\sin\left(\frac{\pi}{6}\times i\right) + \frac{3}{2}\times r\right)\right), i \in \left \{ 0,1,2,3,4,5 \right \} \right \}$

Hexagonal grid — Grille hexagonale pavant le plan

Le modèle

Le modèle repose sur :

La pression de vapeur saturante
L'effet Bergeron
La diffusion de vapeur d'eau.

La diffusion de la vapeur d'eau

La concentration c en vapeur d'eau à l'instant t en position (q,r) suit l'équation de diffusion :

$\frac{\partial c\left ( q,r,t \right )}{\partial t}=\frac{1}{12}\left(\frac{\partial^2 c\left ( q,r,t \right )}{\partial q^2} + \frac{\partial^2 c\left ( q,r,t \right )}{\partial r^2}\right)$

Implémentation du modèle

Pression de vapeur saturante = 1.

Cellule gelée : quand c(q,r, t) ≥ 1.

Cellule réceptive : une cellule ayant une voisine gelée

On initialise la grille comme suit :

c(0,0,0) = 1
c(q,r,0) = $β$, sinon

Approximation de l'équation de diffusion :

$c\left ( q,r,t+1 \right ) = \frac{1}{2}c\left ( q,r,t \right ) + \frac{1}{12}V(c)$

Avec :

$V(c) = c(q+1,r,t) + c(q-1,r,t) + c(q,r+1,t)+ c(q,r-1,t)+ c(q-1,r+1,t)+ c(q+1,r-1,t)$

On applique cette formule sur toutes les cellules, en comptant pour nul les cellules réceptives.

On rajoute une concentration $γ$ à toutes les cellules qui étaient réceptives avant diffusion.

Exemple

Grille initiale — Grille initiale, $β = 0.4$

Première grille — Grille des cellules réceptives

Deuxième grille — Grille des cellules non réceptives

Ajout de gamma — Ajout de $γ = 0.001$

Moyenne — Loi de diffusion

Somme — Grille à jour

Interprétation des résultats

Image de flocon générée — $β = 0.3$ ,$γ = 0.0035$

Image de flocon générée — $β = 0.3$ ,$γ = 1.0$

Image de flocon générée — $β = 0.4$ ,$γ = 0.001$

Image de flocon générée — $β = 0.0$ ,$γ = 0.0$

Image de flocon générée — $β = 0.9$ ,$γ = 0.035$

Image de flocon générée — $β = 0.3$ ,$γ = 0.0001$

Conclusion

Limites du modèle

Ouverture à la 3ème dimension

Bibliographie